第一章末尾我们讲到集代数，以及如何使用一个半集代数生成一个集代数。至此，我们离 \(\sigma\) 代数实际上就差一步了，也就是有限到无限的过程。在第二章，我们提到半环上的测度性质已经很优良了，这就是我们为什么能把半环上的测度扩张到 \(\sigma\) 代数的原因。在这里，我们将充分说明 \(\sigma\) 代数为什么更加优良（比起半环，集代数等）。

当然，前面也提到了这只是加强定义域的“路线一”，我们还可以从单调类的角度出发。这里我们会介绍另一种路线，即从单调类出发到 \(\lambda\) 系。最后，我们还会介绍“路线二”的最终定理——单调类定理，也就是测度论两大重要定理之一。

半环和集代数的局限性

我们知道，在第二章证明了：一个半环上的测度具有有限可加性、可减性、单调性、上下连续性、以及次可加性等等。这似乎已经能使得我们满足了。甚至，第一章我们引入集代数也只是说它“自然而符合直觉”，并没有提供一种必要性。

这其实并不是我懒，而是集代数确实上不来下不去——它既没有像 \(\sigma\) 代数保证完全的封闭，又相比半代数强了很多条件，没有什么特点——除了比较优美。

而对于 \(\sigma\) 代数，我们就能充分说明这一必要性了。注意到上述所有性质，我们在证明的过程中总是假定了所有集合属于我们的集合类。比如可减性：

\(A, B\) 是集合系 \(\Phi\) 中两个集合且 \(A \subset B\)，如果 \(B-A \in \Phi\) 且 \(\mu(A) < +\infty\)，那么有

$$
\mu(B-A) = \mu(B) - \mu(A)
$$

我们假定了 \(B-A \in \Phi\)，并且我们知道在半代数这不一定成立，只有在集代数才成立。而集代数乍看上去已经能对几乎所有运算封闭了——但事实真的如此吗？考察可数可加性：

\(\{A_1, A_2, \dots, \}\) 是集合系中两两不交的集合列，则

$$
\mu(\bigcup_i A_i) = \sum_i \mu(A_i)
$$

\(\sum_i \mu(A_i)\) 就不一定封闭在集代数中。有些人可能会立即反应过来，不过这里也可以给一个例子：

考察 \(\mathbb{R}\) 上所有左闭右开区间组成的半环。（前面已经证过它是半环了）我们考虑它生成的环。

它生成的环是什么样的呢？由前面的生成引理，我们知道它就是某些左闭右开区间的有限并。那我们发现—— \(\{1\}\) 一定不在其中，这是因为区间取并只会变大而不会变小。

而我们考虑所有形如这样的递减区间：

$$
A_i = (1 - \frac{1}{n}, 1], i = 1, 2, \dots
$$

可以看出此递减区间的极限在环中并不封闭。而我们的上连续性质中实际上就会出现“递减区间的极限”的概念。熟悉拓扑空间的小伙伴可能就意识到，这其实就表示环并不是完备的。因此，我们考虑希望将其延拓成一个完备的空间也是非常自然的。

总结一下，半环上的测度虽然具有所有良好性质，但是它不能保证这些性质中出现的任何运算都能封闭，也就是说它需要在性质中规定“假设 xx 属于我们的集代数”，也即不够完备。因此我们考虑将环完备化成为 \(\sigma\) 环。当然，我还是讲 \(\sigma\) 代数，环和代数除了全集没有区别的。

\(\sigma\) 代数

直接看定义，因为它的定义是很简单的：

称 \(\Omega\) 的子集类 \(\sigma\) 为 \(\sigma\) 代数，如果：

1. \(\Omega \in \sigma\)

2. 若 \(A\in \sigma\) 则 \(A^c \in \sigma\)

3. 若 \(\{A_i\} \subset \sigma\)，则 \(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \sigma\)

为什么说简单呢？观察细心的话，你就会发现——不就是把集代数的定义中的“并封闭”换成了“可数并封闭”嘛。我们之前证明了，虽然集代数原始定义中要求交封闭、并封闭，但实际上只需要保留一个，结合补封闭就可以推出另一个。

所以 \(\sigma\) 代数和集代数的唯一区别就是，集代数的有限并封闭升级成可数并封闭了。

真的简单粗暴，因为这好像就是把我们上面那个例子给封闭了一下。

同样，第三条也可以换成可数交封闭，结合补封闭也能推出可数并封闭。所以 \(\sigma\) 代数就是可数交并封闭、补封闭的一个结构。

加强完之后，我们就要考虑如何从我们原来的集代数扩张到 \(\sigma\) 代数了。如果做到这一点的话，我们就能够从半集代数扩张到 \(\sigma\) 代数，进而完成我们的测度扩张计划。当然，扩张首先还是要借助生成。我们首先要证明：

对于同一个全集 \(\Omega\)，它的任意两个 \(\sigma\) 代数的交仍是 \(\sigma\) 代数。

直接按定义验证即可。实际上和我们之前提到的集代数差不多容易证。这样，我们就可以做到生成集代数了。

完备性

\(\sigma\) 代数的完备性读者可以自己去验证。完备性简单可以阐述为：对于此空间中任意一列元素列，其极限（如果存在的话）也含于此空间。

为此，我们给出一个集合列极限的约定。定义极限有很多种方法，最简单想到的可能是：我们先定义一个“度量”，然后借助 \(\epsilon-\delta\) 语言定义。但很遗憾，对集合这个序结构都如此散乱的对象（本质还是因为它太基本了），我们很难做到这一点。你可能会想这么定义：

$$
d(A, B) = \inf \{d(a, b) \mid a \in A, b \in B\}
$$

但很明显，问题就是集合中的元素也不一定有度量结构。因此这种方式太过特殊（在欧式空间这种特殊结构也许是可行的），我们必须采取一种更通用的结构来定义集合列的极限，就是先定义出上极限与下极限的方法。

这种思想实际上很通用——我们在学二重积分、可求面积的时候，就是通过外面积、内面积的方式来夹逼得到的，这实际上就是一种夹逼的思想。

为什么这要比度量的方法更通用呢？因为上极限、下极限是通过构造“上界列”、“下界列”来实现的，即使原本的列没有什么特殊的性质，它的上界列、下界列也具有很好的单调性。然后我们定义出上下极限后，可以取巧地约定：上下极限相等则极限存在。这样，我们就把一个难讨论的存在性问题规约成两个好研究的列求解问题，以及一个相等问题（相等几乎在所有的数学结构里都是有的）。

在此之前，我们要注意之前经常出现的两个符号的约定：

$$
\bigcup_{i=1}^\infty A_i, \bigcap_{i=1}^\infty A_i,
$$

你可能会觉得，我们在定义集合列的极限之前，就在这里用到了极限。确实，在数列上如果你在上标写一个无穷，那肯定是用极限定义的。但在集合这里，这其实有一个定义先后的差异所在。我们可以直接用纯逻辑约定 “无穷交”、“无穷并” 而避免出现循环定义的情况。

$$
\bigcup_{i=1}^\infty A_i := \{ a \mid \exists i \in 1, 2, \dots, s.t. a \in A_i\}
$$

无穷交用任意即可。再深究下去，这就涉及到集合论公理 union-axiom 的约定了：它规定我们可以对一个集合的所有元素取并。

有了这个后，我们考虑一个集合列的上界序列应该是什么样。注意，这个上界应该是“对后”的而非对前的，也就是对后面无穷的情况的上界——因为我们希望通过夹逼的方式来约束后面，所以我们要求得一个“此之后的上界”，再求得一个“此之后的下界”，上界序列最好是单调递减的，下界序列最好是单调递增的。学过分析的同学应该清楚，极限和前面有限项是没有关系的，所以上界序列、下界序列都是针对后面无穷项，这应该也好理解。

那上界又应该怎么理解呢？很简单，大等于所有的东西就好了。所以在集合中，我们构造上界的方式要比想象中容易得多：只要把所有我们需要的东西并起来就好了。由于我们事先定义了无穷并，这件事是很容易的。当然，下界也同理。

对于集合序列 \(\{A_i\}\)，我们定义它的上界序列

$$
B_i = \bigcup_{k=i}^{+\infty} A_k
$$

下界序列

$$
C_i = \bigcap_{k=i}^{+\infty} A_k
$$

很显然，上界序列确实是单调递减的，下界序列当然是单调递增的。接下来我们进行夹逼的第二步：求“上界的极限”和“下界的极限”。这似乎又有点循环，因为我们还在定义极限。但我们前面提过，一个很直觉的、关于单调序列的极限的感受：单调递增的序列极限就是把所有的集合并起来，单调递减的序列极限就是把所有的集合交起来。

这当然只是感受，只有我们定义出极限才能严格证明。但我们可以直接先拿来用——这里的拿来用的意思是，我们知道它是对的，然后直接把符号写出来。

又或者，我们可以先定义“单调序列的极限”，然后再来做这件事。但其实都一样，最后我们都能得到上下极限表达式：（一定要注意，上界序列递减，下界序列递增！）

$$
\overline{\lim}_{i \rightarrow +\infty} A_i = \bigcap_{i=1}^{+\infty} B_i = \bigcap_{i=1}^{+\infty} \bigcup_{k=i}^{+\infty} A_k \\
\underline{\lim}_{i \rightarrow +\infty} A_i = \bigcap_{i=1}^{+\infty} C_i = \bigcup_{i=1}^{+\infty} \bigcap_{k=i}^{+\infty} A_k
$$

虽然我们在理解这个式子的时候经历了一些循环论证的感觉，但是我们实际写出来的定义式却是通顺而且直接的，其中所有内容我们都定义过。

实际上，读者也可以通过这个直接感觉出 \(\sigma\) 代数的完备：\(\sigma\) 代数保证了可数交、可数并的封闭，而上下极限的定义用到的至多也只有可数交并。所以，我们声明它是最小的完备集合结构，很有道理；我们测度在其上面研究，也很有道理，几乎你能想到的所有操作，基本都能被它封闭。

最后，我们重新考虑最开始那个例子：所有左开右闭的区间。如果用它来生成一个 \(\sigma\) 代数，那么它将生成所有的区间（包括到无穷）、所有区间可数个并、所有散点。

道理很简单：上面例子中构造的那个操作能让我们运算出单个散点，所以任意的点均包含在其中。因此我们可以对所有左开右闭区间加端点、挖端点。这个所生成的 \(\sigma\) 代数就是大名鼎鼎的 Borel 代数。

最后的最后，我们还可以思考一下：我们不能做到什么？其实很简单，我们至多做到可数，所以对于一些不可数方式构造出的结构，我们就无法做到了。这在我们的应用范围内是够用的，但这也为“不可测”带来了一些思想苗头，这里就不多赘述了。

路线2 - 从单调类开始

这一路线也将引导我们走向完美的究极生物 \(\sigma\) 代数，路线大概是这样：

• 单调类（+ 集代数 = \(\sigma\) 代数）
• \(\lambda\) 系（+ \(\pi\) 系 = \(\sigma\) 代数）
• \(\sigma\) 代数

这条路线与其说是路线，不如说就是一个核心性质，也即单调类的性质。但这个性质在我们介绍上一部分（完备性）之前，并不直观，所以我选择先讲直观的路线1。但现在，可以通过完备性直接来理解单调类的定义了。

单调类

单调类相比 \(\pi\) 系，它先置集合的运算于不顾，而是着眼于完备性。

上面提过，集代数 + 可数并封闭 = \(\sigma\) 代数，而单调类则揭示了，这一加强有点“太强”了。事实上，单调类是这样进行的：

\(\Omega\) 的子集类 \(C\) 称为单调类，如果它满足：

对任意递增的集合序列 \(\{A_i\} \subset C\)，则 \(\bigcup_{i=1} A_i^\infty \in C\)

我们来感性理解一下，单调类的定义其实就一句话：保证单调序列的极限封闭。

我们知道，集合列的极限定义依赖的基础就是单调列的极限。考察集合列极限的定义，除了单调列极限的部分（即上下界序列极限的部分），我们只需要有限的交并封闭，既可以做到完备。所以我们可以立即证明如下引理：

若 \(\Omega\) 的子集类 \(C\) 既是单调类，又是集代数，则其是 \(\sigma\) 代数。

所以单调类单独看并没有什么意义，它更像是一个性质，如果集代数具有这个性质，则它可以完备化为 \(\sigma\) 代数。这一要求是要比沿定义方向要求要低的——它只需要单调列极限封闭即可。

所以，在平常证明的时候，如果要证明其为一个 \(\sigma\) 代数，考虑到其定义有时候并不好验证，所以可以考虑使用集代数 + 单调类解决，毕竟单调列有许多好的性质可以使用。

当然，我们可能还想放弱“集代数”这一部分的条件。实际上，如果你保持单调类的性质不变，削弱集代数，性质就不一定成立了。但是如果你同时加强单调类，那么会得到另一个更常用的组合，这就是测度论中常用的 \(\pi - \lambda\) 方法。\(\lambda\) 系的作用在于，它允许你把“集代数”的条件放弱到 \(\pi\) 系，而我们知道 \(\pi\) 系的要求可太简单了——只有一条，还非常好验证。与此同时，单调类加强成 \(\lambda\) 系也就多了一个性质（实际上还有一个全集属于其，但是这个验证起来不要太容易）。

所以接下来我们直接来看 \(\lambda\) 系。

\(\lambda\) 系

其又叫 Dynkin 类，定义如下：

\(\Omega\) 的子集类 \(\Lambda\) 称为单调类，如果它满足：

1. \( \Omega \in \Lambda \)

2. 对于任意 \( A, B \in \Lambda, A \subset B \)，\(B \setminus A \in \Lambda\)

3. 其为单调类

本质上，相比于单调类，它只加强了第二条：差封闭。第一条只是为了“差”处理方便，以及保证空集存在。

不过我们也很好理解 \(\pi + \lambda = \sigma\)。可以这样想：我们已经知道 集代数 + 单调类 = \(\sigma\)，而考虑集代数相比 \(\pi\) 系，实际上也就多了一个差封闭（差封闭与补封闭在代数上看是等价的），我们把这个差封闭和代数的性质移到单调类上，就变成了 \(\pi + \lambda\)。

当然，我们还是证明一下这件事。首先验证 \(sigma\) 代数一定是 \(\pi\) 系和 \(\lambda\) 系是不难的，我们接下来证明：

如果一个集合类同时是 \(\pi\) 系和 \(\lambda\) 系，那么它是 \(\sigma\) 代数。

假设此集合系为 \(C\)。 前两条由 \(\lambda\) 系定义显然可得。对于任意一个序列 \(\{A_i\}\)，我们为了证明它的无限并封闭，需要构造一个和它无限并相等的递增序列，因此定义

$$
B_i = \bigcup_{k=1}^i A_k
$$

当然，我们首先需要验证 \(B_i\) 是否封闭在此集合系中。事实上，我们已经有限并封闭，加上补封闭，当然可以得到有限交封闭。那么

$$
\bigcup_{i=1}^\infty A_i = \bigcup_{i=1}^\infty B_i \in C
$$

证毕。

总结一下路线 2，我们带过的比较快因为路线 2 说白了就是一个关于单调列极限封闭的性质。我们主要关心这个性质搭配上之前路线 1 的某些不完全体，能否构成 \(\sigma\) 代数。

可能有的人会觉得，\(\lambda\) 系的定义是多余的。为什么不直接用 单调类 + 集代数进行操作呢？这就涉及到一个叫做 \(\lambda\) 系方法的东西——仅仅证明这个等价关系还是不够的。下面我们来正式介绍基于 \(\pi - \lambda\) 单调类定理。

单调类定理

我们考虑需要研究这样一个问题：集合 \(C\) 中的元素具有某一性质 \(S\)，我们要证明 \(\sigma(C)\) 中的元素也具有这样的性质 \(S\)。这其实是“扩张”的一类重要方式

直接对多出来的部分证明是麻烦的，在集合论研究中，我们会倾向于首先把所有具有某一性质的元素设成一个集合，然后把问题转移为研究集合的包含关系。如：

$$
\Lambda := \{a \mid a 具有性质 S\}
$$

我们首先证明 \(\Lambda \supset C\)，然后我们实际上要证明 \(\Lambda \supset \sigma(C)\)——这一步，当我们证明了单调类定理后，我们只需要证明 \(C\) 是个 \(\pi\) 系，然后 \(\Lambda\) 是个 \(\lambda\) 系。这个东西的好处就是，我们对着 \(\Lambda\) 来研究是很直击本质的。

而这一研究方法是充要的，只证明了 \(\pi + \lambda = \sigma\) 还是不够的。我们实际上要说明这件事，假如记 \(\lambda(C)\) 为 \(C\) 生成的 \(\lambda\) 系，那么：

$$ \lambda(C) = \sigma(C) $$

因为对于任意的符合上述条件的 \(\lambda\) 系，我们都能说明它是个生成 \(\sigma\) 代数，所以它必须是其生成的\(\lambda\) 系。

同时，还要有一个 \(\pi\) 系的条件，所以我们得到我们想要证的单调类定理：

对于 \(\Omega\) 的一个 \(\pi\) 子集类 \(C\)，则

$$
\lambda(C) = \sigma(C)
$$

这个证明还是有点繁琐的，暂时先咕着，等以后再补。